Fix the introduction to DP.

docs/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md

@@ -654,25 +654,25 @@ $$
 
 在该问题中，**下一步选择不能由当前状态（当前楼梯阶数）独立决定，还和前一个状态（上轮楼梯阶数）有关**。如果上一轮是跳 $1$ 阶上来的，那么下一轮就必须跳 $2$ 阶。
 
-不难发现，此问题已不满足无后效性，状态转移方程 $dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$ 也随之失效，因为 $dp[i-1]$ 代表本轮跳 $1$ 阶，但其中包含了许多“上一轮跳 $1$ 阶上来的”方案，而为了满足约束，我们不能将 $dp[i-1]$ 直接计入 $dp[i]$ 中。
+不难发现，此问题已不满足无后效性，状态转移方程 $dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$ 也失效了，因为 $dp[i-1]$ 代表本轮跳 $1$ 阶，但其中包含了许多“上一轮跳 $1$ 阶上来的”方案，而为了满足约束，我们不能将 $dp[i-1]$ 直接计入 $dp[i]$ 中。
 
-为了解决该问题，我们需要扩展状态定义：**状态 $[i, j]$ 表示处在第 $i$ 阶、并且上一轮跳了 $j$ 阶**，$dp[i, j]$ 表示该状态下的方案数量。此状态定义有效地区分了上一轮跳了 $1$ 阶还是 $2$ 阶，我们可以据此来决定下一步该怎么跳：
+为了解决该问题，我们需要扩展状态定义：**状态 $[i, j]$ 表示处在第 $i$ 阶、并且上一轮跳了 $j$ 阶**，其中 $j \in \{1, 2\}$ 。此状态定义有效地区分了上一轮跳了 $1$ 阶还是 $2$ 阶，我们可以据此来决定下一步该怎么跳：
 
-- 当 $j$ 等于 $1$ ，即上一轮跳了 $1$ 阶时，这一轮只可选择跳 $2$ 阶；
+- 当 $j$ 等于 $1$ ，即上一轮跳了 $1$ 阶时，这一轮只能选择跳 $2$ 阶；
-- 当 $j$ 等于 $2$ ，即上一轮跳了 $2$ 阶时，这一步可选择跳 $1$ 阶或跳 $2$ 阶；
+- 当 $j$ 等于 $2$ ，即上一轮跳了 $2$ 阶时，这一轮可选择跳 $1$ 阶或跳 $2$ 阶；
 
 ![考虑约束下的递推关系](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_constraint_state_transfer.png)
 
-由此，我们便能推导出以下的状态转移方程：
+在该定义下，$dp[i, j]$ 表示状态 $[i, j]$ 对应的方案数。由此，我们便能推导出以下的状态转移方程：
 
 $$
 \begin{cases}
-dp[i][1] = dp[i-1][2] \\
+dp[i, 1] = dp[i-1, 2] \\
-dp[i][2] = dp[i-2][1] + dp[i-2][2]
+dp[i, 2] = dp[i-2, 1] + dp[i-2, 2]
 \end{cases}
 $$
 
-最终，返回 $dp[n][1] + dp[n][2]$ 即可，两者之和代表爬到第 $n$ 阶的方案总数。
+最终，返回 $dp[n, 1] + dp[n, 2]$ 即可，两者之和代表爬到第 $n$ 阶的方案总数。
 
 === "Java"
 

docs/chapter_introduction/summary.md

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 # 小结
 
-- 算法在日常生活中无处不在，并不是遥不可及的高深知识。实际上，我们已经在不知不觉中学习了许多“算法”，用以解决生活中的大小问题。
+- 算法在日常生活中无处不在，并不是遥不可及的高深知识。实际上，我们已经在不知不觉中学会了许多算法，用以解决生活中的大小问题。
 - 查阅字典的原理与二分查找算法相一致。二分查找体现了分而治之的重要算法思想。
 - 算法是在有限时间内解决特定问题的一组指令或操作步骤，而数据结构是计算机中组织和存储数据的方式。
 - 数据结构与算法紧密相连。数据结构是算法的基石，而算法则是发挥数据结构作用的舞台。