From ae9b010894caeecef658dd47c0cd7e524f98fef8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: nuomi1 Date: Mon, 26 Dec 2022 23:28:45 +0800 Subject: [PATCH 1/2] feat: add Swift installation --- docs/chapter_preface/installation.md | 5 +++++ 1 file changed, 5 insertions(+) diff --git a/docs/chapter_preface/installation.md b/docs/chapter_preface/installation.md index b58457c7..c6c1b2ee 100644 --- a/docs/chapter_preface/installation.md +++ b/docs/chapter_preface/installation.md @@ -41,3 +41,8 @@ comments: true 1. 下载并安装 [.Net 6.0](https://dotnet.microsoft.com/en-us/download) ； 2. 在 VSCode 的插件市场中搜索 `c#` ，安装 c# 。 + +## Swift 环境 + +1. 下载并安装 [Swift](https://www.swift.org/download/)； +2. 在 VSCode 的插件市场中搜索 `swift`，安装 [Swift for Visual Studio Code](https://marketplace.visualstudio.com/items?itemName=sswg.swift-lang)。 From 7e1ff8f74177be403888bbf6a10a3e0d2ab0ac4c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: nuomi1 Date: Mon, 26 Dec 2022 23:29:37 +0800 Subject: [PATCH 2/2] feat: add Swift codes for time complexity article --- .../time_complexity.swift | 170 +++++++++++ .../worst_best_time_complexity.swift | 37 +++ .../time_complexity.md | 276 ++++++++++++++++++ 3 files changed, 483 insertions(+) create mode 100644 codes/swift/chapter_computational_complexity/time_complexity.swift create mode 100644 codes/swift/chapter_computational_complexity/worst_best_time_complexity.swift diff --git a/codes/swift/chapter_computational_complexity/time_complexity.swift b/codes/swift/chapter_computational_complexity/time_complexity.swift new file mode 100644 index 00000000..38bac4fa --- /dev/null +++ b/codes/swift/chapter_computational_complexity/time_complexity.swift @@ -0,0 +1,170 @@ +/* + * File: time_complexity.swift + * Created Time: 2022-12-26 + * Author: nuomi1 (nuomi1@qq.com) + */ + +// 常数阶 +func constant(n: Int) -> Int { + var count = 0 + let size = 100_000 + for _ in 0 ..< size { + count += 1 + } + return count +} + +// 线性阶 +func linear(n: Int) -> Int { + var count = 0 + for _ in 0 ..< n { + count += 1 + } + return count +} + +// 线性阶（遍历数组） +func arrayTraversal(nums: [Int]) -> Int { + var count = 0 + // 循环次数与数组长度成正比 + for _ in nums { + count += 1 + } + return count +} + +// 平方阶 +func quadratic(n: Int) -> Int { + var count = 0 + // 循环次数与数组长度成平方关系 + for _ in 0 ..< n { + for _ in 0 ..< n { + count += 1 + } + } + return count +} + +// 平方阶（冒泡排序） +func bubbleSort(nums: inout [Int]) -> Int { + var count = 0 // 计数器 + // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1 + for i in sequence(first: nums.count - 1, next: { $0 > 0 ? $0 - 1 : nil }) { + // 内循环：冒泡操作 + for j in 0 ..< i { + if nums[j] > nums[j + 1] { + // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] + let tmp = nums[j] + nums[j] = nums[j + 1] + nums[j + 1] = tmp + count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作 + } + } + } + return count +} + +// 指数阶（循环实现） +func exponential(n: Int) -> Int { + var count = 0 + var base = 1 + // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) + for _ in 0 ..< n { + for _ in 0 ..< base { + count += 1 + } + base *= 2 + } + // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 + return count +} + +// 指数阶（递归实现） +func expRecur(n: Int) -> Int { + if n == 1 { + return 1 + } + return expRecur(n: n - 1) + expRecur(n: n - 1) + 1 +} + +// 对数阶（循环实现） +func logarithmic(n: Int) -> Int { + var count = 0 + var n = n + while n > 1 { + n = n / 2 + count += 1 + } + return count +} + +// 对数阶（递归实现） +func logRecur(n: Int) -> Int { + if n <= 1 { + return 0 + } + return logRecur(n: n / 2) + 1 +} + +// 线性对数阶 +func linearLogRecur(n: Double) -> Int { + if n <= 1 { + return 1 + } + var count = linearLogRecur(n: n / 2) + linearLogRecur(n: n / 2) + for _ in 0 ..< Int(n) { + count += 1 + } + return count +} + +// 阶乘阶（递归实现） +func factorialRecur(n: Int) -> Int { + if n == 0 { + return 1 + } + var count = 0 + // 从 1 个分裂出 n 个 + for _ in 0 ..< n { + count += factorialRecur(n: n - 1) + } + return count +} + +func main() { + // 可以修改 n 运行，体会一下各种复杂度的操作数量变化趋势 + let n = 8 + print("输入数据大小 n =", n) + + var count = constant(n: n) + print("常数阶的计算操作数量 =", count) + + count = linear(n: n) + print("线性阶的计算操作数量 =", count) + count = arrayTraversal(nums: Array(repeating: 0, count: n)) + print("线性阶（遍历数组）的计算操作数量 =", count) + + count = quadratic(n: n) + print("平方阶的计算操作数量 =", count) + var nums = Array(sequence(first: n, next: { $0 > 0 ? $0 - 1 : nil })) // [n,n-1,...,2,1] + count = bubbleSort(nums: &nums) + print("平方阶（冒泡排序）的计算操作数量 =", count) + + count = exponential(n: n) + print("指数阶（循环实现）的计算操作数量 =", count) + count = expRecur(n: n) + print("指数阶（递归实现）的计算操作数量 =", count) + + count = logarithmic(n: n) + print("对数阶（循环实现）的计算操作数量 =", count) + count = logRecur(n: n) + print("对数阶（递归实现）的计算操作数量 =", count) + + count = linearLogRecur(n: Double(n)) + print("线性对数阶（递归实现）的计算操作数量 =", count) + + count = factorialRecur(n: n) + print("阶乘阶（递归实现）的计算操作数量 =", count) +} + +main() diff --git a/codes/swift/chapter_computational_complexity/worst_best_time_complexity.swift b/codes/swift/chapter_computational_complexity/worst_best_time_complexity.swift new file mode 100644 index 00000000..73db6954 --- /dev/null +++ b/codes/swift/chapter_computational_complexity/worst_best_time_complexity.swift @@ -0,0 +1,37 @@ +/* + * File: worst_best_time_complexity.swift + * Created Time: 2022-12-26 + * Author: nuomi1 (nuomi1@qq.com) + */ + +// 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 +func randomNumbers(n: Int) -> [Int] { + // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n } + var nums = Array(1 ... n) + // 随机打乱数组元素 + nums.shuffle() + return nums +} + +// 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 +func findOne(nums: [Int]) -> Int { + for i in nums.indices { + if nums[i] == 1 { + return i + } + } + return -1 +} + +// Driver Code +func main() { + for _ in 0 ..< 10 { + let n = 100 + let nums = randomNumbers(n: n) + let index = findOne(nums: nums) + print("数组 [ 1, 2, ..., n ] 被打乱后 =", nums) + print("数字 1 的索引为", index) + } +} + +main() diff --git a/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md b/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md index 8841a613..aafb0d89 100644 --- a/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md +++ b/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md @@ -111,6 +111,21 @@ $$ } ``` +=== "Swift" + + ```swift title="" + // 在某运行平台下 + func algorithm(_ n: Int) { + var a = 2 // 1 ns + a = a + 1 // 1 ns + a = a * 2 // 10 ns + // 循环 n 次 + for _ in 0 ..< n { // 1 ns + print(0) // 5 ns + } + } + ``` + 但实际上， **统计算法的运行时间既不合理也不现实。** 首先，我们不希望预估时间和运行平台绑定，毕竟算法需要跑在各式各样的平台之上。其次，我们很难获知每一种操作的运行时间，这为预估过程带来了极大的难度。 ## 统计时间增长趋势 @@ -246,6 +261,29 @@ $$ } ``` +=== "Swift" + + ```swift title="" + // 算法 A 时间复杂度：常数阶 + func algorithmA(_ n: Int) { + print(0) + } + + // 算法 B 时间复杂度：线性阶 + func algorithmB(_ n: Int) { + for _ in 0 ..< n { + print(0) + } + } + + // 算法 C 时间复杂度：常数阶 + func algorithmC(_ n: Int) { + for _ in 0 ..< 1000000 { + print(0) + } + } + ``` + ![time_complexity_first_example](time_complexity.assets/time_complexity_first_example.png)

Fig. 算法 A, B, C 的时间增长趋势

@@ -352,6 +390,20 @@ $$ } ``` +=== "Swift" + + ```swift title="" + func algorithm(n: Int) { + var a = 1 // +1 + a = a + 1 // +1 + a = a * 2 // +1 + // 循环 n 次 + for _ in 0 ..< n { // +1 + print(0) // +1 + } + } + ``` + $T(n)$ 是个一次函数，说明时间增长趋势是线性的，因此易得时间复杂度是线性阶。 我们将线性阶的时间复杂度记为 $O(n)$ ，这个数学符号被称为「大 $O$ 记号 Big-$O$ Notation」，代表函数 $T(n)$ 的「渐近上界 asymptotic upper bound」。 @@ -516,6 +568,25 @@ $$ } ``` +=== "Swift" + + ```swift title="" + func algorithm(n: Int) { + var a = 1 // +0（技巧 1） + a = a + n // +0（技巧 1） + // +n（技巧 2） + for _ in 0 ..< (5 * n + 1) { + print(0) + } + // +n*n（技巧 3） + for _ in 0 ..< (2 * n) { + for _ in 0 ..< (n + 1) { + print(0) + } + } + } + ``` + ### 2. 判断渐近上界 **时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时，最高阶的项将处于主导作用，其它项的影响都可以被忽略。 @@ -643,6 +714,20 @@ $$ } ``` +=== "Swift" + + ```swift title="time_complexity.swift" + // 常数阶 + func constant(n: Int) -> Int { + var count = 0 + let size = 100000 + for _ in 0 ..< size { + count += 1 + } + return count + } + ``` + ### 线性阶 $O(n)$ 线性阶的操作数量相对输入数据大小成线性级别增长。线性阶常出现于单层循环。 @@ -726,6 +811,19 @@ $$ } ``` +=== "Swift" + + ```swift title="time_complexity.swift" + // 线性阶 + func linear(n: Int) -> Int { + var count = 0 + for _ in 0 ..< n { + count += 1 + } + return count + } + ``` + 「遍历数组」和「遍历链表」等操作，时间复杂度都为 $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组或链表的长度。 !!! tip @@ -820,6 +918,20 @@ $$ } ``` +=== "Swift" + + ```swift title="time_complexity.swift" + // 线性阶（遍历数组） + func arrayTraversal(nums: [Int]) -> Int { + var count = 0 + // 循环次数与数组长度成正比 + for _ in nums { + count += 1 + } + return count + } + ``` + ### 平方阶 $O(n^2)$ 平方阶的操作数量相对输入数据大小成平方级别增长。平方阶常出现于嵌套循环，外层循环和内层循环都为 $O(n)$ ，总体为 $O(n^2)$ 。 @@ -922,6 +1034,22 @@ $$ } ``` +=== "Swift" + + ```swift title="time_complexity.swift" + // 平方阶 + func quadratic(n: Int) -> Int { + var count = 0 + // 循环次数与数组长度成平方关系 + for _ in 0 ..< n { + for _ in 0 ..< n { + count += 1 + } + } + return count + } + ``` + ![time_complexity_constant_linear_quadratic](time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png)

Fig. 常数阶、线性阶、平方阶的时间复杂度

@@ -1066,6 +1194,29 @@ $$ ``` +=== "Swift" + + ```swift title="time_complexity.swift" + // 平方阶（冒泡排序） + func bubbleSort(nums: inout [Int]) -> Int { + var count = 0 // 计数器 + // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1 + for i in sequence(first: nums.count - 1, next: { $0 > 0 ? $0 - 1 : nil }) { + // 内循环：冒泡操作 + for j in 0 ..< i { + if nums[j] > nums[j + 1] { + // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] + let tmp = nums[j] + nums[j] = nums[j + 1] + nums[j + 1] = tmp + count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作 + } + } + } + return count + } + ``` + ### 指数阶 $O(2^n)$ !!! note @@ -1182,6 +1333,25 @@ $$ } ``` +=== "Swift" + + ```swift title="time_complexity.swift" + // 指数阶（循环实现） + func exponential(n: Int) -> Int { + var count = 0 + var base = 1 + // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) + for _ in 0 ..< n { + for _ in 0 ..< base { + count += 1 + } + base *= 2 + } + // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 + return count + } + ``` + ![time_complexity_exponential](time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png)

Fig. 指数阶的时间复杂度

@@ -1258,6 +1428,18 @@ $$ } ``` +=== "Swift" + + ```swift title="time_complexity.swift" + // 指数阶（递归实现） + func expRecur(n: Int) -> Int { + if n == 1 { + return 1 + } + return expRecur(n: n - 1) + expRecur(n: n - 1) + 1 + } + ``` + ### 对数阶 $O(\log n)$ 对数阶与指数阶正好相反，后者反映“每轮增加到两倍的情况”，而前者反映“每轮缩减到一半的情况”。对数阶仅次于常数阶，时间增长的很慢，是理想的时间复杂度。 @@ -1354,6 +1536,21 @@ $$ } ``` +=== "Swift" + + ```swift title="time_complexity.swift" + // 对数阶（循环实现） + func logarithmic(n: Int) -> Int { + var count = 0 + var n = n + while n > 1 { + n = n / 2 + count += 1 + } + return count + } + ``` + ![time_complexity_logarithmic](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png)

Fig. 对数阶的时间复杂度

@@ -1430,6 +1627,18 @@ $$ } ``` +=== "Swift" + + ```swift title="time_complexity.swift" + // 对数阶（递归实现） + func logRecur(n: Int) -> Int { + if n <= 1 { + return 0 + } + return logRecur(n: n / 2) + 1 + } + ``` + ### 线性对数阶 $O(n \log n)$ 线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 $O(\log n)$ 和 $O(n)$ 。 @@ -1531,6 +1740,22 @@ $$ } ``` +=== "Swift" + + ```swift title="time_complexity.swift" + // 线性对数阶 + func linearLogRecur(n: Double) -> Int { + if n <= 1 { + return 1 + } + var count = linearLogRecur(n: n / 2) + linearLogRecur(n: n / 2) + for _ in 0 ..< Int(n) { + count += 1 + } + return count + } + ``` + ![time_complexity_logarithmic_linear](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png)

Fig. 线性对数阶的时间复杂度

@@ -1640,6 +1865,23 @@ $$ } ``` +=== "Swift" + + ```swift title="time_complexity.swift" + // 阶乘阶（递归实现） + func factorialRecur(n: Int) -> Int { + if n == 0 { + return 1 + } + var count = 0 + // 从 1 个分裂出 n 个 + for _ in 0 ..< n { + count += factorialRecur(n: n - 1) + } + return count + } + ``` + ![time_complexity_factorial](time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png)

Fig. 阶乘阶的时间复杂度

@@ -1872,6 +2114,40 @@ $$ } ``` +=== "Swift" + + ```swift title="" + // 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 + func randomNumbers(n: Int) -> [Int] { + // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n } + var nums = Array(1 ... n) + // 随机打乱数组元素 + nums.shuffle() + return nums + } + + // 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 + func findOne(nums: [Int]) -> Int { + for i in nums.indices { + if nums[i] == 1 { + return i + } + } + return -1 + } + + // Driver Code + func main() { + for _ in 0 ..< 10 { + let n = 100 + let nums = randomNumbers(n: n) + let index = findOne(nums: nums) + print("数组 [ 1, 2, ..., n ] 被打乱后 =", nums) + print("数字 1 的索引为", index) + } + } + ``` + !!! tip 我们在实际应用中很少使用「最佳时间复杂度」，因为往往只有很小概率下才能达到，会带来一定的误导性。反之，「最差时间复杂度」最为实用，因为它给出了一个“效率安全值”，让我们可以放心地使用算法。