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comments: true
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# 二叉树
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「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以结点为单位存储的，结点包含「值」和两个「指针」。
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=== "Java"
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```java title=""
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/* 链表结点类 */
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class TreeNode {
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int val; // 结点值
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TreeNode left; // 左子结点指针
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TreeNode right; // 右子结点指针
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TreeNode(int x) { val = x; }
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}
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```
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=== "C++"
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```cpp title=""
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/* 链表结点结构体 */
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struct TreeNode {
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int val; // 结点值
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TreeNode *left; // 左子结点指针
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TreeNode *right; // 右子结点指针
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TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
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};
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```
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=== "Python"
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```python title=""
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""" 链表结点类 """
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class TreeNode:
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def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
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self.val = val # 结点值
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self.left = left # 左子结点指针
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self.right = right # 右子结点指针
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```
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=== "Go"
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```go title=""
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""" 链表结点类 """
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type TreeNode struct {
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Val int
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Left *TreeNode
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Right *TreeNode
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}
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""" 结点初始化方法 """
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func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
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return &TreeNode{
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Left: nil,
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Right: nil,
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Val: v,
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}
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}
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```
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=== "JavaScript"
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```js title=""
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/* 链表结点类 */
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function TreeNode(val, left, right) {
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this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 结点值
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this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子结点指针
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this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子结点指针
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}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title=""
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/* 链表结点类 */
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class TreeNode {
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val: number;
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left: TreeNode | null;
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right: TreeNode | null;
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constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
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this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
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this.left = left === undefined ? null : left; // 左子结点指针
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this.right = right === undefined ? null : right; // 右子结点指针
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}
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}
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```
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=== "C"
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```c title=""
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```
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=== "C#"
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```csharp title=""
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```
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结点的两个指针分别指向「左子结点 Left Child Node」和「右子结点 Right Child Node」，并且称该结点为两个子结点的「父结点 Parent Node」。给定二叉树某结点，将左子结点以下的树称为该结点的「左子树 Left Subtree」，右子树同理。
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<p align="center"> Fig. 子结点与子树 </p>
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需要注意，父结点、子结点、子树是可以向下递推的。例如，如果将上图的「结点 2」看作父结点，那么其左子结点和右子结点分别为「结点 4」和「结点 5」，左子树和右子树分别为「结点 4 以下的树」和「结点 5 以下的树」。
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## 二叉树常见术语
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二叉树的术语较多，建议尽量理解并记住。后续可能遗忘，可以在需要使用时回来查看确认。
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- 「根结点 Root Node」：二叉树最顶层的结点，其没有父结点；
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- 「叶结点 Leaf Node」：没有子结点的结点，其两个指针都指向 $\text{null}$ ；
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- 结点所处「层 Level」：从顶置底依次增加，根结点所处层为 1 ；
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- 结点「度 Degree」：结点的子结点数量，二叉树中度的范围是 0, 1, 2 ；
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- 「边 Edge」：连接两个结点的边，即结点指针；
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- 二叉树「高度」：二叉树中根结点到最远叶结点走过边的数量；
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- 结点「深度 Depth」 ：根结点到该结点走过边的数量；
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- 结点「高度 Height」：最远叶结点到该结点走过边的数量；
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<p align="center"> Fig. 二叉树的常见术语 </p>
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!!! tip "高度与深度的定义"
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值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过结点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。
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## 二叉树基本操作
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**初始化二叉树。** 与链表类似，先初始化结点，再构建引用指向（即指针）。
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=== "Java"
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```java title="binary_tree.java"
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// 初始化结点
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TreeNode n1 = new TreeNode(1);
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TreeNode n2 = new TreeNode(2);
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TreeNode n3 = new TreeNode(3);
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TreeNode n4 = new TreeNode(4);
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TreeNode n5 = new TreeNode(5);
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// 构建引用指向（即指针）
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n1.left = n2;
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n1.right = n3;
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n2.left = n4;
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n2.right = n5;
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```
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=== "C++"
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```cpp title="binary_tree.cpp"
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/* 初始化二叉树 */
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// 初始化结点
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TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
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||
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
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||
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
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||
TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
|
||
TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
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||
// 构建引用指向（即指针）
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||
n1->left = n2;
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||
n1->right = n3;
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||
n2->left = n4;
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||
n2->right = n5;
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```
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=== "Python"
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```python title="binary_tree.py"
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```
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=== "Go"
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```go title="binary_tree.go"
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/* 初始化二叉树 */
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// 初始化结点
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n1 := NewTreeNode(1)
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n2 := NewTreeNode(2)
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||
n3 := NewTreeNode(3)
|
||
n4 := NewTreeNode(4)
|
||
n5 := NewTreeNode(5)
|
||
// 构建引用指向（即指针）
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||
n1.Left = n2
|
||
n1.Right = n3
|
||
n2.Left = n4
|
||
n2.Right = n5
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```
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=== "JavaScript"
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```js title="binary_tree.js"
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||
/* 初始化二叉树 */
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// 初始化结点
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let n1 = new TreeNode(1),
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||
n2 = new TreeNode(2),
|
||
n3 = new TreeNode(3),
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||
n4 = new TreeNode(4),
|
||
n5 = new TreeNode(5);
|
||
// 构建引用指向（即指针）
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||
n1.left = n2;
|
||
n1.right = n3;
|
||
n2.left = n4;
|
||
n2.right = n5;
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="binary_tree.ts"
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/* 初始化二叉树 */
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// 初始化结点
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let n1 = new TreeNode(1),
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||
n2 = new TreeNode(2),
|
||
n3 = new TreeNode(3),
|
||
n4 = new TreeNode(4),
|
||
n5 = new TreeNode(5);
|
||
// 构建引用指向（即指针）
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||
n1.left = n2;
|
||
n1.right = n3;
|
||
n2.left = n4;
|
||
n2.right = n5;
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```
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=== "C"
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```c title="binary_tree.c"
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```
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=== "C#"
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```csharp title="binary_tree.cs"
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```
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**插入与删除结点。** 与链表类似，插入与删除结点都可以通过修改指针实现。
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<p align="center"> Fig. 在二叉树中插入与删除结点 </p>
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=== "Java"
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```java title="binary_tree.java"
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TreeNode P = new TreeNode(0);
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// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
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n1.left = P;
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P.left = n2;
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// 删除结点 P
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n1.left = n2;
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```
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=== "C++"
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```cpp title="binary_tree.cpp"
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/* 插入与删除结点 */
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TreeNode* P = new TreeNode(0);
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// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
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n1->left = P;
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P->left = n2;
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// 删除结点 P
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||
n1->left = n2;
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```
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=== "Python"
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```python title="binary_tree.py"
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```
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=== "Go"
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```go title="binary_tree.go"
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/* 插入与删除结点 */
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// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
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p := NewTreeNode(0)
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n1.Left = p
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p.Left = n2
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// 删除结点 P
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n1.Left = n2
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```
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=== "JavaScript"
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```js title="binary_tree.js"
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/* 插入与删除结点 */
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let P = new TreeNode(0);
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// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
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||
n1.left = P;
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P.left = n2;
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// 删除结点 P
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||
n1.left = n2;
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="binary_tree.ts"
|
||
/* 插入与删除结点 */
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||
const P = new TreeNode(0);
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// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
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||
n1.left = P;
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P.left = n2;
|
||
// 删除结点 P
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||
n1.left = n2;
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```
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=== "C"
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```c title="binary_tree.c"
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```
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=== "C#"
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```csharp title="binary_tree.cs"
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```
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!!! note
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插入结点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除结点往往意味着删除了该结点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。
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## 常见二叉树类型
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### 完美二叉树
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「完美二叉树 Perfect Binary Tree」的所有层的结点都被完全填满。在完美二叉树中，所有结点的度 = 2 ；若树高度 $= h$ ，则结点总数 $= 2^{h+1} - 1$ ，呈标准的指数级关系，反映着自然界中常见的细胞分裂。
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!!! tip
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在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」，请注意与完满二叉树区分。
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### 完全二叉树
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「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的结点未被填满，且最底层结点尽量靠左填充。
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**完全二叉树非常适合用数组来表示**。如果按照层序遍历序列的顺序来存储，那么空结点 `null` 一定全部出现在序列的尾部，因此我们就可以不用存储这些 null 了。
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### 完满二叉树
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「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶结点之外，其余所有结点都有两个子结点。
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### 平衡二叉树
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「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意结点的左子树和右子树的高度之差的绝对值 $\leq 1$ 。
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## 二叉树的退化
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当二叉树的每层的结点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有结点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。
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- 完美二叉树是一个二叉树的“最佳状态”，可以完全发挥出二叉树“分治”的优势；
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- 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 $O(n)$ ；
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<p align="center"> Fig. 二叉树的最佳和最差结构 </p>
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如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶结点数量、结点总数、高度等达到极大或极小值。
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<div class="center-table" markdown>
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| | 完美二叉树 | 链表 |
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| ----------------------------- | ---------- | ---------- |
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| 第 $i$ 层的结点数量 | $2^{i-1}$ | $1$ |
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| 树的高度为 $h$ 时的叶结点数量 | $2^h$ | $1$ |
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| 树的高度为 $h$ 时的结点总数 | $2^{h+1} - 1$ | $h + 1$ |
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| 树的结点总数为 $n$ 时的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |
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</div>
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